功能化 Cahn-Hilliard 方程的一种能量稳定有限差分格式及其收敛性分析

我们提出并分析了一种用于功能化 Cahn-Hilliard 方程的无条件能量稳定且收敛的有限差分格式。与能量稳定性相关的一个关键困难在于，展开式中的一个非线性能量泛函项表现为非凸、非凹。为克服这一微妙困难，我们添加了两个辅助项以使组合项变为凸，从而产生物理能量的凸-凹分解。因此，应用凸分裂方法确保了所提数值格式的唯一可解性和无条件能量稳定性。为处理每个时间步 $H^{-1}$ 梯度流中的 4-Laplacian 求解器，我们应用了一种高效的预条件最速下降算法来求解相应的非线性系统。此外，在理论层面建立了数值格式的全局时间 $H_{\rm per}^2$ 稳定性，这进而确保了该格式的全阶收敛性分析。给出了一些数值结果，证实了所提数值格式的稳定性和准确性。