带对数势的 Cahn-Hilliard 方程保正、能量稳定数值格式
数值分析
2019-02-12 v2
摘要
我们提出并分析了带对数 Flory Huggins 能量势的 Allen-Cahn/Cahn-Hilliard 方程的有限差分数值格式。考虑了具有一阶和二阶时间精度的算法。在一阶格式中，我们隐式处理非线性对数项与表面扩散项，并显式更新线性膨胀项与迁移率。我们提供了理论证明：该数值算法具有唯一解，使得对数变量的保正性始终成立。特别地，我们的分析揭示了一个微妙事实：对数项在 和 1 附近的奇异性阻止了数值解达到这些奇异值，从而只要数值解在前一时间步同样有界，该数值格式就始终良定义。此外，导出了数值格式的无条件能量稳定性，对时间步长无任何限制。二阶格式的唯一可解性与保正性用类似思想证明，其中对数项的奇异性起本质作用。对一阶与二阶精度格式，我们均能导出最优速率收敛分析，给出全阶误差估计。非常数迁移率的情形也作了分析。我们还描述了针对所提数值格式的一个实用且高效的多重网格求解器，并给出一些数值结果，展示了数值格式的鲁棒性。
引用
@article{arxiv.1712.03225,
title = {Positivity-preserving, energy stable numerical schemes for the Cahn-Hilliard equation with logarithmic potential},
author = {Wenbin Chen and Cheng Wang and Xiaoming Wang and Steven M. Wise},
journal= {arXiv preprint arXiv:1712.03225},
year = {2019}
}