高维卡án-希利德方程稳态的深层赫兹方法

卡án-希利德方程是描述二元混合物相分离现象的基本模型。传统数值方法，如有限差分法和有限元方法，在计算高维情形下的稳态解时常常面临高额的计算成本。为此，我们提出一种基于深度学习的框架——深层赫兹方法（Deep Ritz method），用于在周期边界条件下计算卡án-希利德方程的稳态。我们引入增强型拉格朗日乘子公式，以严格约束质量守恒；同时采用可分离的傅里叶特征映射，自然编码周期性并增强非平凡解结构的表示。该方法具有显著的双重能力：不仅快速收敛至稳态，而且有效识别与能量泛函的不同局部极小值对应的多个非平凡解。广泛的数值实验在一维、二维和三维情形下均表明，该方法能够成功捕获多样化的相分离模式，包括液滴型、层状和管状结构。我们还将数值结果与一、二维情形下的数值差分法（FDM）进行比较，突出了该方法在探索复杂高维能量景观方面的有效性和鲁棒性。