SPDE 时间离散格式的路径wise一致收敛

本文中，我们证明了带加性或多重plicative高斯噪声的半线性随机演化方程时间离散格式的收敛速率，其中主导算子 $A$ 是希尔伯特空间 $X$ 上强连续半群 $S$ 的生成元，且重点在于非抛物型问题。主要结果是一致强误差的最优界 $$\mathrm{E}_{k}^{\infty} := \Big(\mathbb{E} \sup_{j\in \{0, \ldots, N_k\}} \|U(t_j) - U^j\|^p\Big)^{1/p},$$ 其中 $p \in [2,\infty)$，$U$ 是温和解，$U^j$ 由时间离散格式得到，$k$ 是步长，且 $N_k = T/k$。常见格式如指数欧拉、隐式欧拉和 Crank-Nicolson 方法等均作为特例包含在内。在对非线性和噪声的条件下，我们证明： - $\mathrm{E}_{k}^{\infty}\lesssim k \sqrt{\log(T/k)}$（线性方程，加性噪声，一般 $S$）； - $\mathrm{E}_{k}^{\infty}\lesssim \sqrt{k} \sqrt{\log(T/k)}$（非线性方程，多重噪声，压缩 $S$）； - $\mathrm{E}_{k}^{\infty}\lesssim k \sqrt{\log(T/k)}$（非线性波动方程，多重噪声）对一大类时间离散格式成立。若对（拟）压缩 $S$ 使用指数欧拉方法，则可去除对数因子。所得界与 SDE 的最优界一致。现有文献多关注更简单的逐点强误差界 $$\mathrm{E}_k:=\bigg(\sup_{j\in \{0,\ldots,N_k\}}\mathbb{E} \|U(t_j) - U^{j}\|^p\bigg)^{1/p}.$$ 文中包含了对麦克斯韦方程、薛定谔方程和波动方程的应用。对这些方程，我们的结果以统一方法改进并重新证明了若干现有结果，并给出了隐式欧拉与 Crank-Nicolson 方法的已知首批结果。