SDE欧拉法弱误差的均匀时间估计及扩散半群导数估计的路径化方法
概率论
2020-07-28 v2
摘要
我们给出随机微分方程(SDEs)欧拉格式的弱误差随时间一致收敛的判据。该判据要求i)与SDE相关的半群的空间导数随时间指数衰减，以及ii)欧拉近似的(某些)矩有界。我们通过例子(及反例)说明i)和ii)二者皆为获得所求结果所需。若弱误差随时间一致收敛于零，则遍历平均的收敛也随之成立。我们还表明，李雅普诺夫型条件对于欧拉近似弱误差随时间一致收敛既非充分也非必要，并澄清了李雅普诺夫条件、i)与ii)之间的关联。ii)成立的条件已在文献中研究，此处我们给出i)成立的充分条件。导数估计研究备受关注，但为保证导数指数快速衰减的已知结果不多。导数的指数衰减通常源于涉及方程中出现的向量场及其交换子的强制性型条件；此处我们关注此类强制性型条件在空间上非一致的情形。据我们所知，至少系统层面上该情形在文献中未被探索。为在此空间非齐次条件下获得结果，我们开启了对扩散半群导数估计研究的路径化方法，并将此路径化方法与大偏差原理的使用相结合。
引用
@article{arxiv.1905.03524,
title = {Uniform in time estimates for the weak error of the Euler method for SDEs and a Pathwise Approach to Derivative Estimates for Diffusion Semigroups},
author = {D. Crisan and P. Dobson and M. Ottobre},
journal= {arXiv preprint arXiv:1905.03524},
year = {2020}
}
备注
47 pages and 9 figures