非全局Lipschitz连续系数随机微分方程欧拉方法在有限时间内的强散度和弱散度
数值分析
2021-11-02 v3 概率论
摘要
已知随机欧拉格式收敛于具有全局Lipschitz连续漂移和扩散系数的随机微分方程的精确解。最近的结果将这种收敛性扩展到系数至多线性增长的方程。对于超线性增长的系数，有限时间内的强均方收敛性仍然是一个未解决的问题，根据[Higham, Mao & Stuart (2002); Strong convergence of Euler-type methods for nonlinear stochastic differential equations, SIAM J. Numer. Anal. 40, no. 3, 1041-1063]。在本文中，我们对这个问题给出了否定回答，并证明对于一大类具有非全局Lipschitz连续系数的随机微分方程，欧拉近似在有限时间点既不按强均方意义收敛，也不按数值弱意义收敛于精确解。更糟糕的是，在有限时间点，精确解与数值近似之差在强均方意义和数值弱意义上都发散到无穷。
引用
@article{arxiv.0905.0273,
title = {Strong and weak divergence in finite time of Euler's method for stochastic differential equations with non-globally Lipschitz continuous coefficients},
author = {Martin Hutzenthaler and Arnulf Jentzen and Peter E. Kloeden},
journal= {arXiv preprint arXiv:0905.0273},
year = {2021}
}
备注
Published at http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/early/2010/12/08/rspa.2010.0348.full.html in the Proceedings of the Royal Society A