关于具有 H"older 连续漂移系数的 SDE 强近似最优误差率

在本文中，我们研究了具有有界且 $\alpha$-H"older 连续漂移系数和常数扩散系数的标量随机微分方程 (SDE) 在时间点 1 上的强近似。最近的工作 [arXiv:1909.07961v4 (2021)] 表明，对于此类 SDE，等距 Euler 方案在 $L^p$ 误差率上至少达到 $(1+\alpha)/2$，对于所有 $p\geq 1$ 和所有 $\alpha\in(0, 1]$，以驱动布朗运动 $W$ 的评估次数为度量。 In this article we prove a matching lower error bound for $\alpha\in(0, 1)$. 更精确地，我们证明对于每一个 $\alpha\in(0, 1)$，来自 [arXiv:1909.07961v4 (2021)] 的 Euler 方案 $L^p$ 误差率 $(1+\alpha)/2$ 不可能通过任何基于在固定时间点对 $W$ 进行有限评估的数值方法来改进。直到目前，这一结果仅已知于 $\alpha=1$。此外，我们扩展了 [arXiv:2402.13732v2 (2024)] 中关于具有有界漂移系数且具有分数 Sobolev 正则性 $\alpha\in (0,1)$ 的 SDE 在时间点 1 上的强近似的尖锐下界结果。我们证明对于每一个 $\alpha\in (0,1)$，来自 [arXiv:2101.12185v2 (2022)] 的等距 Euler 方案 $L^p$ 误差率 $(1 + \alpha)/2$ 至多相对于对数项，无法通过任何基于在固定时间点对 $W$ 进行有限评估的数值方法来改进。这一结果已知于 [arXiv:2402.13732v2 (2024)] 仅限于 $\alpha\in (1/2,1)$ 和 $p=2$。为了证明这些下界，我们使用变体的 Weierstrass 函数作为漂移系数，并运用最近在 [arXiv:2010.00915v1 (2020)] 中引入的噪声耦合技术。