分数扩散欧拉逼近格式的收敛速率与渐近误差分布

对于由 Hurst 参数 $H>\frac{1}{2}$ 的分数布朗运动 (fBm) 驱动的随机微分方程 (SDE)，已知现有的（朴素）欧拉格式的收敛速率为 $n^{1-2H}$。由于该 SDE 在 $H\rightarrow\frac{1}{2}$ 时的极限对应于由标准布朗运动驱动的 Stratonovich SDE，且朴素欧拉格式是 $H=\frac{1}{2}$ 时 It\^{o} SDE 经典欧拉格式的推广，因此当 $H\rightarrow\frac{1}{2}$ 时，朴素欧拉格式的收敛速率会恶化。在本文中，我们引入了一种新的（修正欧拉）逼近格式，它更接近于 $H=\frac{1}{2}$ 时 Stratonovich SDE 的经典欧拉格式，其收敛速率为 $\gamma_n^{-1}$，其中当 $H<\frac{3}{4}$ 时 $\gamma_n=n^{2H-{1}/2}$，当 $H=\frac{3}{4}$ 时 $\gamma_n=n/\sqrt{\log n}$，当 $H>\frac{3}{4}$ 时 $\gamma_n=n$。此外，我们研究了误差波动的渐近行为。更确切地说，如果 $\{X_t,0\le t\le T\}$ 是由 fBm 驱动的 SDE 的解，而 $\{X_t^n,0\le t\le T\}$ 是通过新的修正欧拉格式获得的其近似解，那么我们证明当 $H\in(\frac{1}{2},\frac{3}{4}]$ 时，$\gamma_n(X^n-X)$ 稳定收敛于由矩阵值布朗运动驱动的线性 SDE 的解。在 $H>\frac{3}{4}$ 的情况下，我们展示了 $n(X^n_t-X_t)$ 的 $L^p$ 收敛性，并确定极限过程为由矩阵值 Rosenblatt 过程驱动的线性 SDE 的解。还推导了该格式的弱收敛速率。我们也将该方法应用于朴素欧拉格式。