SDE 的逼近——一种随机缝合方法

我们利用并发展 Lê (2020) 的随机缝合引理，对随机微分方程（SDE）逼近的误差分析给出新的处理。该方法允许在获得收敛速率时利用噪声的正则化效应。在我们的第一个应用中，我们展示了（据我们所知首次）由具有非正则漂移的分数布朗运动驱动的 SDE 的 Euler-Maruyama 格式的收敛。当 Hurst 参数为 $H\in(0,1)$ 且漂移为 $\mathcal{C}^\alpha$，$\alpha\in[0,1]$ 且 $\alpha>1-1/(2H)$ 时，我们证明强 $L_p$ 与几乎必然收敛速率为 $((1/2+\alpha H)\wedge 1) -\varepsilon$，对任意 $\varepsilon>0$。我们对漂移正则性的条件是最优的，因为它们与 Catellier、Gubinelli (2016) 中解强唯一性所需的条件一致。在第二个应用中，我们考虑由乘性标准布朗噪声驱动的 SDE 的逼近，其中我们推导了对于 $\mathcal{C}^\alpha$ 漂移、任意 $\varepsilon,\alpha>0$ 的 Euler-Maruyama 格式的几乎最优收敛速率 $1/2-\varepsilon$。