奇异漂移项 SDE 的遍历测度由 Euler-Maruyama 格式的逼近

我们研究 $\mathbb{R}^d$ 上如下随机微分方程（SDE）的遍历测度的逼近：\begin{eqnarray}\label{e:SDEE} d X_t &=& (b_1(X_t)+b_2(X_t)) d t+\sigma(X_t) d W_t, \end{eqnarray}其中 $W_t$ 为 $d$ 维标准布朗运动，$b_1: \mathbb{R}^d \mapsto \mathbb{R}^d$、$b_2: \mathbb{R}^d \mapsto \mathbb{R}^d$ 与 $\sigma: \mathbb{R}^d \mapsto \mathbb{R}^{d\times d}$ 为下述假设 2.1 中将指定的函数。特别地，$b_1$ 满足 $b_1\in \mathbb{L}^\infty(\mathbb{R}^d)\cap \mathbb{L}^1(\mathbb{R}^d)$ 或 $b_1 \in \mathcal{C}_b^{\alpha}(\mathbb{R}^d)$ 且 $\alpha\in (0,1)$，这使得标准数值格式失效或无法给出良好收敛速率。为克服这两类困难，我们首先对 SDE 施加 Zvonkin 变换，得到具有良好系数性质且存在唯一遍历测度 $\widehat \mu$ 的新 SDE，随后用 Euler-Maruyama 格式离散新方程以逼近 $\widehat \mu$，最后利用逆 Zvonkin 变换得到 SDE 遍历测度（记为 $\mu$）的逼近。我们的逼近方法受 Xie 与 Zhang [22] 启发。主要结果的证明基于引入平稳马尔可夫链的方法，该方法的关键一环是建立泊松方程的正则性，这通过结合经典 PDE 局部正则性与 Gurvich [10] 提出的巧妙延拓技巧完成。