用递减步长欧拉-丸山格式逼近稳定SDE的不变测度

设 $(X_t)_{t \ge 0}$ 为随机微分方程 $$dX_t = b(X_t) dt+A dZ_t, \quad X_{0}=x$$ 的解，其中 $b: \mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb R^d$ 为Lipschitz函数，$A \in \mathbb R^{d \times d}$ 为正定矩阵，$(Z_t)_{t\geq 0}$ 为 $d$ 维旋转不变 $\alpha$-稳定 L\'evy 过程且 $\alpha \in (1,2)$，$x\in\mathbb{R}^{d}$。我们使用两种具有递减步长 $\Gamma = (\gamma_n)_{n\in \mathbb{N}}$ 的欧拉-丸山格式来逼近 $(X_t)_{t \ge 0}$ 的不变测度：一种以独立同分布的 $\alpha$-稳定分布随机变量为其新息，另一种以独立同分布的Pareto分布随机变量为其新息。我们研究了这两种逼近格式在Wasserstein-1距离下的收敛速率。对第一种格式，当函数 $b$ 为Lipschitz并满足某耗散条件时，我们证明收敛速率为 $\gamma^{1/\alpha}_n$。在对 $b$ 的二阶方向导数附加假设下，该收敛速率可改进为对任意 $\kappa \in [1,\alpha)$ 有 $\gamma^{1+\frac 1 {\alpha}-\frac{1}{\kappa}}_n$。对第二种格式，当函数 $b$ 二次连续可微时，我们得到收敛速率 $\gamma^{\frac{2-\alpha}{\alpha}}_n$。我们证明速率 $\gamma^{\frac{2-\alpha}{\alpha}}_n$ 对一维稳定Ornstein-Uhlenbeck过程是最优的。我们的定理表明，近期关于带加性新息的未调整Langevin算法的显著结果可推广到由 $\alpha$-稳定 L\'evy 过程驱动的SDE，且相应收敛速率有类似表现。与先前结果相比，我们对第一种格式将二阶可微条件放宽至Lipschitz条件。