随机微分方程周期测度的遍历数值逼近

本文研究弱耗散条件下时间周期随机微分方程(SDEs)周期测度的数值逼近。为此,我们首先研究周期测度$\rho_t$的存在性以及$\mathcal{U}(t+s,s,x) := \mathbb{E}\phi(X_{t}^{s,x})-\int\phi d\rho_t$的大时间行为,其中$X_t^{s,x}$为SDEs的解,$\phi$为在无穷远处光滑且多项式增长的检验函数。我们证明$\mathcal{U}$及其所有空间导数在初始时间$s$平均的意义下随时间$t$以指数速率衰减至0。我们还证明了由Euler-Maruyama格式得到的离散半流的周期测度的存在性与几何遍历性,以及在时间步长足够小(对所有阶数一致)时任意阶矩估计。进而得到该无穷时域数值格式的弱误差关于时间步长为1阶。我们证明步长选取可对一切检验函数$\phi$一致。随后我们得以用遍历数值格式估计平均周期测度。