关于随机微分方程自适应逼近的收敛性

本文研究采用自适应步长的随机微分方程（SDEs）数值逼近。特别地，我们考虑一种一般情形，其中缩减步长的决策可依赖于底层布朗运动的未来轨迹。由于这些自适应步长可能不可预知，标准的均方误差分析无法直接用于证明该数值方法收敛到 SDE 的解。基于 Gaines 和 Lyons 的开创性工作，我们转而使用粗糙路径理论，在一般 Stratonovich SDE（具有充分光滑的向量场）上建立了一大类自适应数值方法的路径wise收敛性。据我们所知，这是首个适用于标准求解器（如 Milstein 和 Heun 方法）在非可预知步长下的收敛保证。在我们的分析中，要求自适应步长具有“不跳跃（no skip）”性质，且取值仅限二进时间点。其次，与 Euler-Maruyama 方法不同，我们要求 SDE 求解器在其泰勒展开中具有无偏的“Lévy 面积”项。我们猜想，对于更一般意义上的自适应 SDE 求解器，只要方法不引入“Lévy 面积偏差”，收敛仍有可能。我们给出一个简单例子，其中步长控制可跳过先前考虑的时间点，导致数值方法收敛到错误极限（即非 Stratonovich SDE）。最后，我们以实验收尾，展示了 Heun 方法以及一种新引入的基于分裂路径的 Runge-Kutta 格式（SPaRK）在采用自适应步长时的精度。