随机 Hodgkin-Huxley 类型系统的分裂方法及局部均方收敛定理
概率论
2026-02-16 v1
摘要
现有的随机微分方程 (SDE) 数值方法的均方收敛基本定理要求系数满足全局或单侧 Lipschitz 连续性，而在仅满足局部 Lipschitz 条件下的强收敛结果大多局限于 Euler-Maruyama 类型方法。为此，我们引入一种针对具有局部 Lipschitz 系数的 SDE 的新型局部分化均方收敛定理，这些系数在广泛的应用场景中自然出现。具体而言，我们证明如果数值方案在均方意义下满足阶数 的局部分辨，则其在局部分辨下以 的阶数进行均方收敛。基于此结果，我们进一步证明只要精确解及其数值近似值对某些 的 次矩均有上界，即可推出全局均方收敛。这些新的收敛结果在一类以条件线性漂移结构特征的局部 Lipschitz SDE 上得到验证。对于这些系统，我们构造不同的 Lie-Trotter 和 Strang 分裂方法，利用其条件线性特性。所提出的收敛框架随后应用于这些方案，要求对局部分辨和矩的有界性进行创新性的证明。此外，我们建立了分裂方法的关键结构保持性质，特别是状态空间保持和几何 Ergodicity。数值实验支持理论结果，表明所提出的分裂方案在保存模型的定性特征方面显著优于 Euler-Maruyama 类型方法。
引用
@article{arxiv.2602.13056,
title = {Splitting methods for stochastic Hodgkin-Huxley type systems and a localized fundamental mean-square convergence theorem},
author = {Pierre Étoré and Anna Melnykova and Irene Tubikanec},
journal= {arXiv preprint arXiv:2602.13056},
year = {2026}
}