非 Lipschitz 系数 SDE 的隐式 Milstein 型方法的均方收敛速率

本文引入并分析了一类隐式 Milstein 型方法，用于求解漂移项与扩散项非全局 Lipschitz 的随机微分方程（SDEs）。通过在漂移项与扩散项中引入一对方法参数 $\theta, \eta \in [0, 1]$，新格式实际上是一种漂移项-扩散项双隐式方法。在一般框架下，我们给出了所提格式的均方误差上界，该上界仅依赖于与精确解过程相关的特定误差项。此类误差界有助于我们轻松分析格式的均方收敛速率，而无需依赖数值近似的先验高阶矩估计。在进一步施加全局多项式增长条件后，我们成功恢复了当 $\theta \in [\tfrac12, 1], \eta \in [0, 1]$ 时所述格式的期望一阶均方收敛速率。此外，部分所提格式被应用于求解定义于正域 $(0, \infty)$ 的三个 SDE 模型。具体而言，特定的漂移项-扩散项隐式 Milstein 方法（$\theta = \eta = 1$）被用于逼近 Heston $\tfrac32$-波动率模型与随机 Lotka-Volterra 竞争模型；半隐式 Milstein 方法（$\theta =1, \eta = 0$）被用于求解 Ait-Sahalia 利率模型。得益于前述误差界，相较于文献中已有相关结果，我们在更宽松条件下揭示了保正格式的Optimal均方收敛速率。数值算例亦被给出以验证前述结论。