具有不连续漂移系数的随机微分方程系统的Milstein型强逼近方法

我们研究由d维布朗运动W驱动的具有不连续漂移系数的d维随机微分方程(SDEs)的强逼近。更精确地说，我们本质上假设漂移系数μ是分段Lipschitz连续的，其例外集例外集Θ⊂ℝ^d是一个具有正reach的可定向C^5超曲面，扩散系数σ假设为Lipschitz连续，并且在Θ的邻域内，两个系数均有界且σ是非退出的。此外，μ和σ在ℝ^d\Θ上被假设为C^1且其导数为内在Lipschitz连续。我们首次在文献中引入了一种Milstein型方法，可用于逼近此类SDEs，适用于任意d∈ℕ，并证明该Milstein型方案在步数方面至少达到3/4阶的Lp误差率。该方法除了在固定网格上对W的求值外，还依赖于W分量的迭代积分，而这些积分一般不能表示为W在有限多个时间点处求值的泛函。我们进一步证明，当σ additionally是交换的时，我们所建议的Milstein型方法仅依赖于在有限固定网格上对W的求值。为了获得主要结果，我们证明当μ additionally连续时，一个拟Milstein方案在我们的设置下至少达到3/4阶的Lp误差率，这本身也具有重要意义。