用于逼近非全局Lipschitz连续系数SDE的对偶多层蒙特卡洛方法

在计算金融领域，人们通常关注其收益依赖于随机微分方程（SDEs）解的金衍生品的期望值。对于全局Lipschitz情形下具有非交换扩散系数的多维SDE，Giles与Szpruch（2014）近期提出了一种不含Lévy面积的半阶截断Milstein型格式，其与对偶多层蒙特卡洛（MLMC）结合可在所需目标精度$\epsilon$下给出最优总体计算代价$\mathcal{O}(\epsilon^{-2})$。然而，应用中的许多非线性SDE具有非全局Lipschitz连续系数，且文献中缺乏针对对偶MLMC的相应理论保证。本工作旨在填补该空白并在非全局Lipschitz情形下分析对偶MLMC。首先，我们提出一类不含Lévy面积的修正Milstein型格式，以逼近具有非全局Lipschitz连续系数的SDE。在非全局Lipschitz情形下恢复了半阶强收敛期望，其中甚至允许扩散系数超线性增长。这有助于我们分析多层估计量的相关方差，并最终实现对偶MLMC的最优计算代价。由于摆脱Lévy面积破坏了格式的鞅性质，在非全局Lipschitz情形下收敛速率与所需方差的分析变得极为非平凡。通过引入辅助逼近过程，我们发展了非标准论证以克服本质困难。数值实验证实了理论发现。