有限元模型的多级蒙特卡洛方法的大规模并行实现

多级蒙特卡洛（MLMC）方法已被证明是偏微分方程（PDE）模型中不确定性量化（UQ）的一种有效方差缩减统计方法，它结合不同层次上的模型计算以创建准确估计。然而，所得方法的计算复杂度极高，尤其对于三维模型，这需要先进算法以高效利用高性能计算（HPC）。在本文中，我们提出了一种在大规模并行计算机架构上的 MLMC 新实现，在层次中每一层之内与之间均利用并行性。PDE 的数值近似采用有限元方法，但该算法相当通用，也可应用于其他离散化方法，尽管重点在于并行采样。高效并行实现的两个关键要素是良好的处理器划分方案以及将工作分配给不同处理器的良好调度算法。我们引入了对处理器集合的多重划分，以允许不同层次同时执行，并开发了动态调度算法来利用它。在并行计算机中寻找分布式任务的最优调度问题是 NP 完全问题。我们提出并分析了一种新的贪心调度算法来分配样本，并证明其是一个 2-近似，这是在一般假设下可期望的最佳结果。在此结果之上，我们使用消息传递接口（MPI）标准设计了分布式内存实现。最后我们给出了一组说明其可扩展性的数值实验。