具有收敛阶的目标导向自适应有限元多层蒙特卡洛方法

我们提出了一种自适应多层蒙特卡洛(AMLMC)算法，用于逼近确定的、实值、有界的线性泛函，该泛函依赖于在$\mathbb{R}^d$有界域上具有对数正态扩散系数和几何奇异性、并由线性椭圆偏微分方程(PDE)所确定的解。我们的AMLMC算法建立在[Moon等人, BIT Numer. Math., 46 (2006), 367-407]中关于使用等参d-线性四边形有限元逼近和确定性设定下对偶加权残差误差表示的弱收敛阶结果之上。为适配解中奇异性的几何特性，我们的AMLMC算法采用一系列确定的、非均匀辅助网格作为基本构件。该确定性自适应算法生成这些网格，对应于几何递减的容差序列。对于给定的扩散系数实现和精度水平，AMLMC使用层次结构中满足相应偏差精度约束的第一个网格来构造其近似样本。这种自适应方法对本文处理的对数正态情形尤为有用，该情形缺乏一致强制性，因而在采样时产生数量级差异巨大的泛函输出。我们讨论了迭代求解器，并将其效率与直接求解器进行比较。为减少计算工作量，我们针对感兴趣量、扩散系数的实现以及AMLMC逼近的期望水平，提出了迭代求解器的停止准则。基于系数场的傅里叶展开的数值实验表明，对于具有类似于模拟裂纹的狭缝尖端处奇异性的问题，我们观察到相比标准蒙特卡洛和标准MLMC的效率提升。