流形上椭圆型方程组的自适应数值处理

针对几何分析与广义相对论中出现的某些椭圆型方程组，我们开发并分析了自适应多层有限元方法。首先回顾了流形上这类非线性张量方程椭圆型方程组，然后详细考虑了用于逼近该类问题解的自适应多层有限元方法。基于局部残差和全局线性化伴随或对偶问题，推导了两个后验误差指示子。随后讨论了流形代码(MC)的设计；MC是一个用于二维和三维流形的自适应多层有限元软件包。它采用后验误差估计、自适应单纯形细分、非结构化代数多层方法、全局非精确牛顿法以及数值延拓方法，用于求解二维和三维流形上的非线性协变椭圆型方程组。详细描述了MC的一些更有趣的特性，包括单纯形网格中拓扑和几何表示的一些新思路，以及一种基于单位分解的利用并行计算机的非同寻常方法。然后给出了一个简短的例子，涉及爱因斯坦方程中的哈密顿约束和动量约束，这是广义相对论中黎曼三维流形上一个具有代表性的非线性四分量协变椭圆型方程组。首先总结了最近建立的若干算子性质和可解性结果，这使得能够推导出Galerkin逼近的两个拟最优先验误差估计。这两个结果完善了有效使用自适应多层有限元方法的理论框架。最后给出了使用MC软件的一个算例。