目标导向自适应有限元多层准蒙特卡罗方法

高效逼近由对数正态扩散系数的 PDE 导出的目标量是不确定性量化中的核心挑战。本研究提出一个多层准蒙特卡罗框架，用于逼近确定性的、实值的、有界线性泛函，这些泛函依赖于带有对数正态扩散系数的线性椭圆 PDE 的解，该系数由 49 维高斯随机向量参数化，且在 $\mathbb{R}^d$ 的有界域中具有确定性几何奇异性。我们分析了参数正则性，并基于一系列自适应网格开发了多层实现，该系列自适应网格在“Goal-oriented adaptive finite element multilevel Monte Carlo with convergence rates”, \emph{CMAME}, 402 (2022), p. 115582 中被提出。为了进一步降低方差，我们结合了重要性采样，并在多层层级结构中引入了 0 级控制变量。引入此类控制变量可以改变初始网格的最优选择，进一步凸显了自适应网格的优势。数值实验表明，我们的自适应 QMC 算法在达到预定精度时，其计算成本显著低于标准多层蒙特卡罗方法。