MDFEM：基于高阶QMC与FEM、针对具有对数正态扩散系数的椭圆型偏微分方程的多元分解有限元方法

我们引入多元分解有限元方法，用于具有对数正态扩散系数 $a=\exp(Z)$ 的椭圆型偏微分方程，其中 $Z$ 是由无穷级数展开 $Z(\boldsymbol{y}) = \sum_{j\ge1} y_j\,\phi_j$ 定义的高斯随机场，$y_j\sim\mathcal{N}(0,1)$，且 $\{\phi_j\}_{j\ge1}$ 为给定函数序列。我们使用 MDFEM 来近似 PDE 解的线性泛函的期望值，该期望值是参数空间上的无穷维积分。所提算法使用多元分解方法（MDM）将无穷维积分分解为有限维积分进行计算，我们采用拟蒙特卡洛（QMC）方法求解这些积分，并使用有限元方法（FEM）求解 PDE 的不同实例。我们通过截断策略，针对高斯分布下的有限维欧氏空间积分，发展了高阶拟蒙特卡洛法则。通过将交织多项式格点规则从单位立方体线性变换到欧氏空间的多变量盒子，我们对属于一类锚定高斯 Sobolev 空间的函数实现了高阶收敛速率，同时考虑了截断误差。在适当条件下，MDFEM 在误差与代价关系上实现高阶收敛速率，即要达到 $O(\epsilon)$ 的精度，计算代价为 $O(\epsilon^{-1/\lambda-d'/\lambda}) = O(\epsilon^{-(p^*+d'/\tau)/(1-p^*)})$，其中 $\epsilon^{-1/\lambda}$ 与 $\epsilon^{-d'/\lambda}$ 分别为拟蒙特卡洛积分与有限元近似的代价，$d' = d \, (1+\delta')$ 对某个 $\delta' \ge 0$ 成立且 $d$ 为物理维度，$0 < p^* \le (2+d'/\tau)^{-1}$ 为表示 $\{\phi_j\}_{j\ge1}$ 稀疏性的参数。