用于逼近无穷维变量积分的多变量分解方法的高效实现

本文关注于多变量分解方法（MDM）在逼近 $\infty$-维变量函数积分方面的高效实现。此类 $\infty$-维变量积分例如作为不确定性量化中的期望而出现。从锚定分解 $f = \sum_{\mathfrak{u}\subset\mathbb{N}} f_\mathfrak{u}$ 出发，其中求和遍历 $\mathbb{N}$ 的所有有限子集且每个 $f_\mathfrak{u}$ 仅依赖于变量 $x_j$（$j\in\mathfrak{u}$），我们的 MDM 算法通过首先将求和截断至某个“活跃集”，然后利用 Smolyak 或（随机化）拟蒙特卡洛（QMC）求积逐项逼近剩余函数 $f_\mathfrak{u}$ 的积分来近似 $f$ 的积分。锚定分解允许我们通过 $f$ 的函数求值显式计算 $f_\mathfrak{u}$。在给定活跃集的设定以及理论推导的求积规则参数后，我们利用计算 $f_\mathfrak{u}$ 的公式与求积规则中的结构，开发了在各种场景下实现 MDM 的计算高效策略。特别地，我们避免了在同一点上的重复函数求值。我们给出了一个测试函数的数值结果以证明该算法的有效性。