带数值平滑的多层蒙特卡洛方法用于稳健高效的概率与密度计算
计算金融
2024-05-07 v4 数值分析
数值分析
摘要
多层蒙特卡洛（MLMC）方法对于估计随机微分方程（SDE）解之泛函的期望非常高效。然而，在泛函正则性较低的情况下，MLMC 估计量可能不稳定且复杂度较差（非典型）。为克服此问题，我们将此前在（Quantitative Finance, 23(2), 209-227, 2023）中于确定性求积方法背景下引入的数值平滑思想推广至 MLMC 设定。该数值平滑技术基于求根方法结合针对单个精心选择变量的单维数值积分。本研究的动机在于计算事件概率、对具有不连续支付的期权定价，以及对必须离散化底层随机过程之动力学的密度估计问题。分析与数值实验表明，数值平滑显著改善了强收敛性，并因此改善了 MLMC 方法的复杂度与稳健性（通过使深层处的峰度有界）。特别地，我们证明数值平滑能够因使用 Euler–Maruyama 格式时最优的方差衰减率而恢复 Lipschitz 泛函下的 MLMC 复杂度。对于 Milstein 格式，数值平滑即使对上述非光滑被积函数也恢复了典型 MLMC 复杂度。最后，我们的方法高效估计单变量与多变量密度函数。
引用
@article{arxiv.2003.05708,
title = {Multilevel Monte Carlo with Numerical Smoothing for Robust and Efficient Computation of Probabilities and Densities},
author = {Christian Bayer and Chiheb Ben Hammouda and Raul Tempone},
journal= {arXiv preprint arXiv:2003.05708},
year = {2024}
}