用于 Heston 3/2 模型保正逼近的多层蒙特卡洛方法

本文关注多层蒙特卡洛（MLMC）方法，用于逼近数学金融中 Heston 3/2 模型解的某些函数的期望。该模型取值于 $(0, \infty)$，且具有超线性增长的漂移和扩散系数。为了对 SDE 模型进行离散化，提出了一种新型 Milstein 型格式以产生独立的样本路径。所提格式可显式求解且无条件保正，即对任意时间步长 $h>0$ 均成立。这种大离散时间步长下的保正性在 MLMC 设定中尤为理想。此外，在非全局 Lipschitz 条件下证明了阶为 1 的均方收敛阶，由于扩散系数超线性增长，这并非平凡的结果。所得的一阶收敛反过来保证了多层估计量所需的方差，并证明了 MLMC 方法的最优复杂度 $\mathcal{O}(\epsilon^{-2})$，其中 $\epsilon > 0$ 为所需的目标精度。最后给出了数值实验以验证理论结果。