用于随机微分方程不变测度逼近的多层蒙特卡洛方法

我们开发了一个框架，允许使用多层蒙特卡洛（MLMC）方法（Giles2015）来计算关于遍历SDE不变测度的期望。在此背景下，我们研究了具有强凹势的（过阻尼）朗之万方程。我们表明，当数值积分器存在适当的收缩耦合时，可以获得MLMC方差的均匀时间估计，这与MLMC文献中大多数结果相反。因此，以$\mathcal{O}(\varepsilon)$的均方根误差得以实现，其复杂度为$\mathcal{O}(\varepsilon^{-2})$，与马尔可夫链蒙特卡洛（MCMC）方法相当，但后者在应用于大型数据集时计算密集。最后，我们提出了最近引入的用于大型数据集应用的随机梯度朗之万动力学（SGLD）方法（Welling and Teh, 2011）的多层版本。我们表明这是首个复杂度为$\mathcal{O}(\varepsilon^{-2}|\log {\varepsilon}|^{3})$的随机梯度MCMC方法，而现有方法的复杂度为$\mathcal{O}(\varepsilon^{-3})$。数值实验证实了我们的理论发现。