针对一类 McKean-Vlasov 过程的多层蒙特卡洛方法

我们将 Giles 的多层蒙特卡洛（MLMC）方法推广到通过平均场相互作用的粒子系统的模拟。当粒子数量很大时，这些系统由 McKean-Vlasov 过程描述——这是一种随机微分方程（SDE），其系数依赖于解的期望以及路径数据。与标准 MLMC 不同，新方法在粗水平上使用平均场估计来为精细水平计算提供信息。利用混沌传播理论中的技术，我们证明了算法在一种特殊情形下的收敛性和复杂度结果。我们发现，新方法以 $O(\varepsilon^{-2} (\log \varepsilon)^5)$ 的复杂度实现大小为 $\varepsilon$ 的 $L^1$ 误差，而标准方法的复杂度为 $O(\varepsilon^{-3})$。我们还证明了一个方差缩放结果，有力地表明该算法在更一般的背景下具有相似的性能。我们展示了来自应用的数值示例，并在每种情况下都观察到了预期的行为。