针对 McKean-Vlasov 方程的多层与多指标蒙特卡罗方法

我们研究了在粒子数趋于无穷的平均场极限下，对依赖于由随机微分方程 (SDE) 描述的粒子系统的泛函进行近似的问题。该问题等价于估计极限 McKean-Vlasov SDE 的弱解。为此，我们的方法使用了具有有限粒子数的系统和时间步进方案。在这种情况下，有两个离散化参数：时间步数和粒子数。基于这两个参数，我们考虑了蒙特卡罗和多层蒙特卡罗 (MLMC) 方法的不同变体，并表明在最佳情况下，使用分割估计量和 Milstein 时间步进方案时，MLMC 在一个典型设置中以误差容限 $\mathrm{TOL}$ 估计泛函的最优工作复杂度为 $\mathcal O\left({\mathrm{TOL}^{-3}}\right)$。我们还考虑了一种使用最近提出的多指标蒙特卡罗方法的方法，并表明在同样的典型设置中，其工作复杂度改进为 $\mathcal O\left(\mathrm{TOL}^{-2}\log(\mathrm{TOL}^{-1})^2\right)$。我们的数值实验是在所谓的 Kuramoto 模型（一种耦合振子系统）上进行的。