非线性随机微分方程多层蒙特卡洛欧拉方法的发散性
摘要
已知欧拉-丸山格式在应用于具有超线性增长和全局单边 Lipschitz 连续漂移系数的非线性随机微分方程（SDEs）时，会发生强发散和数值弱发散。然而，经典的蒙特卡洛模拟并不受欧拉方法这种发散行为的影响，因为该发散行为发生在稀有事件上。事实上，对于此类非线性 SDEs，通过利用欧拉近似仅在概率极速衰减至零的事件上发散这一性质，经典蒙特卡洛欧拉方法已被证明是收敛的。最近引入的多层蒙特卡洛欧拉方法比经典蒙特卡洛欧拉方法效率显著更高。本文的主要观察结果是，与经典蒙特卡洛方法相反，这种多层蒙特卡洛欧拉方法在此类非线性 SDEs 的情况下通常不收敛。更确切地说，我们针对一族具有超线性增长和全局单边 Lipschitz 连续漂移系数的 SDEs，建立了多层蒙特卡洛欧拉方法的发散性。特别地，对于这些非线性 SDEs，多层蒙特卡洛欧拉方法在一个绝非稀有、而是概率为 1 的事件上发散。作为对应用的一个结论，我们建议不要将多层蒙特卡洛欧拉方法用于具有超线性增长非线性的 SDEs。取而代之，我们提议将多层蒙特卡洛方法与一种略微修正的欧拉方法相结合。更确切地说，我们证明了多层蒙特卡洛方法与驯服欧拉方法相结合，对于具有全局单边 Lipschitz 连续漂移系数的非线性 SDEs 是收敛的，并保持了其在 Lipschitz 情况下显著的高阶收敛速率。
引用
@article{arxiv.1105.0226,
title = {Divergence of the multilevel Monte Carlo Euler method for nonlinear stochastic differential equations},
author = {Martin Hutzenthaler and Arnulf Jentzen and Peter E. Kloeden},
journal= {arXiv preprint arXiv:1105.0226},
year = {2015}
}
备注
Published in at http://dx.doi.org/10.1214/12-AAP890 the Annals of Applied Probability (http://www.imstat.org/aap/) by the Institute of Mathematical Statistics (http://www.imstat.org)