关于导数至多线性增长的平滑系数 SDE 强逼近的一个注记

最近，文献 [Jentzen, A., Müller-Gronbach, T., and Yaroslavtseva, L., Commun. Math. Sci., 14, 2016] 已证明，在时间区间 $[0,T]$ 上存在一个自治随机微分方程 (SDE) 系统，其系数无穷次可微且有界，使得任何基于在 $[0,T]$ 中有限多个固定时刻（例如等距网格）评估驱动布朗运动的强逼近方法，都无法以所用布朗运动值数量的多项式速率在绝对均值意义下收敛到最终时刻的解。在有关 SDE 强逼近的文献中，多项式误差速率结果通常是在方程系数的一阶导数满足多项式增长条件的假设下取得的。上述负面结果中的病态 SDE 违反了这一假设。然而，在本文中，我们构造了一个具有平滑系数且其一阶导数至多线性增长的 SDE，使得无论使用何种基于在有限多个固定时刻观测驱动布朗运动的方法，最终时刻的解都无法以多项式速率被逼近。最有趣的是，结果表明，使用一种将驱动布朗运动的评估次数调整为其实际路径的方法，后一种 SDE 可以在所用平均评估次数的意义下以速率 1 被逼近。据我们所知，这仅是文献中第二个存在自适应方法在收敛速率上优于非自适应方法的 SDE 实例。