关于具有有界光滑系数的 SDE 边际分布的困难求积问题
数值分析
2016-03-30 v1 概率论
摘要
在 Hairer、Hutzenthaler 和 Jentzen 最近的工作（见 [9]）中，构造了一个具有无穷可微且有界系数的随机微分方程（SDE），使得用于近似最终时刻解的第一分量期望值的蒙特卡洛欧拉方法收敛，但无法实现多项式速率的均方误差。在本文中，我们证明了这类针对具有无穷可微且有界系数的 SDE 求积的低劣表现并非欧拉格式特有的缺点，而是在最坏意义下，对于任何基于 SDE 系数的有限多个函数值的逼近方法都可出现。更糟糕的是，我们证明了对于任意基于系数的有限多次顺序求值及其所有偏导数的蒙特卡洛方法序列，以及任意任意慢的收敛速度，存在一个具有无穷可微且被 1 界定的系数序列的 SDE 序列，使得所有扩散系数的一阶导也被 1 界定，且所有漂移系数的一阶导被单个实值函数一致控制，并且对应的用于近似最终时刻解的第一分量期望值的均绝对误差序列收敛到零的速度不能快于给定速度。
引用
@article{arxiv.1603.08686,
title = {On hard quadrature problems for marginal distributions of SDEs with bounded smooth coefficients},
author = {Thomas Müller-Gronbach and Larisa Yaroslavtseva},
journal= {arXiv preprint arXiv:1603.08686},
year = {2016}
}