适用于 Hölder 漂移 SDE 的未调整 Langevin 算法

考虑 $\mathbb R^d$ 上 $(X_t)_{t\ge 0}$ 的如下随机微分方程及其 Euler-Maruyama (EM) 逼近 $(Y_{t_n})_{n\in \mathbb Z^+}$:\n\begin{align*} &d X_t=b( X_t) d t+\sigma(X_t) d B_t, \\ & Y_{t_{n+1}}=Y_{t_{n}}+\eta_{n+1} b(Y_{t_{n}})+\sigma(Y_{t_{n}})\left(B_{t_{n+1}}-B_{t_{n}}\right), \end{align*}\n其中 $b:\mathbb{R}^d \rightarrow \mathbb{R}^d,\ \ \sigma: \mathbb R^d \rightarrow \mathbb{R}^{d \times d}$ 为可测函数, $B_t$ 为 $d$ 维 Brownian 运动, $t_0:=0,t_{n}:=\sum_{k=1}^{n} \eta_{k}$, 常数 $\eta_k>0$ 满足 $\lim_{k \rightarrow \infty} \eta_k=0$ 且 $\sum_{k=1}^\infty\eta_k =\infty$。在确保遍历性的(部分)耗散条件下, 我们得到当 $n\rightarrow \infty$ 时 $\mathbb W_p(\mathscr{L}(Y_{t_n}), \mathscr{L}(X_{t_n}))+\mathbb W_p(\mathscr{L}(Y_{t_n}), \mu)\rightarrow 0$ 的显式收敛速率, 其中 $\mathbb W_p$ 为某 $p\in [0,\infty)$ 的 $L^p$-Wasserstein 距离, $\mathscr{L}(\xi)$ 为随机变量 $\xi$ 的分布, $\mu$ 为 $(X_t)_{t \ge 0}$ 的唯一不变概率测度。与现有 $b$ 至少 $C^2$ 光滑的结果相比, 我们的估计适用于 Hölder 连续漂移, 且在若干具体情形下可达到最优。