由耦合半线性偏微分方程-常微分方程系统控制的不可微最优控制问题时空有限元逼近的先验误差估计

本文研究了简化半线性梯度增强损伤模型的时空 Galerkin 有限元离散化的先验误差估计。该模型方程具有特殊结构：状态方程由一个几乎在所有时刻均需满足的椭圆型 PDE 与一个几乎在空间所有点均需成立的不可光滑半线性 ODE 耦合而成。该系统在时间上采用常值间断 Galerkin 方法离散，在空间上采用通常的协调线性有限元。对于无控制方程，我们证明了时间上的线性收敛性以及空间离散误差阶为 $\mathcal{O}(h^{\frac{3}{2}-\varepsilon})$。关于最优控制问题，我们的主要结果是 dG(0)cG(1) 离散控制一致收敛到 $l\in H^1_{\{0\}}(0,T;L^2(\Omega))$。通过二次增长条件建立了控制的误差估计。数值实验用以说明所证明的收敛阶。