浅水方程标准Galerkin有限元方法误差估计注记

我们考虑一维空间中浅水方程的一个简单初边值问题，以及该系统对称变体的类似问题。假设解具有光滑性，我们使用标准 Galerkin 有限元方法对这些问题进行空间离散化，并针对拟均匀和均匀网格证明了半离散问题的 $L^{2}$ 误差估计。特别地，我们证明了在均匀网格上使用分段线性连续函数进行空间离散化的情形下，边界处的适当相容性条件以及有限元子空间上 $L^{2}$ 投影的超精度性质导出了最优阶的 $O(h^{2})$ $L^{2}$ 误差估计。我们还通过三种显式 Runge-Kutta 方法（Euler 法、改进 Euler 法和 Shu-Osher 格式）检验了半离散问题的时间离散化，并在适当的稳定性条件下证明了在时间变量上具有最优阶的 $L^{2}$ 误差估计。在最后的注记部分，我们针对这些系统的周期初值问题证明了光滑样条空间离散化的最优阶 $L^{2}$ 误差估计。我们还证明了对称系统的小振幅、适当变换后的解在两者均光滑时接近通常系统的相应解，从而为对称系统提供了合理性论证。