具有梯度型乘性噪声的随机 Allen-Cahn 方程的有限元方法

本文研究了具有梯度型乘性噪声（在时间上白噪声、在空间上相关）的随机 Allen-Cahn 方程的有限元逼近。当参数 $\epsilon \rightarrow 0$ 时，该随机方程的尖锐界面极限形式逼近一个随机平均曲率流，其由确定性平均曲率流的随机扰动几何定律描述。随机 Allen-Cahn 方程与随机平均曲率流均源于材料科学、流体力学和细胞生物学应用。提出了两种基于不同非线性项时间步进策略的全离散有限元方法。证明了两种全离散有限元方法均具有精确收敛速度的强收敛。这一证明关键依赖于随机 Allen-Cahn 方程强解关于空间 $L^2$ 范数和 $H^1$ 半范数的时间 Hölder 连续性，这是本文证明的关键技术引理。它还依赖于强解的高阶矩在各种空间和时间范数下有界这一事实。提供了数值实验以衡量所提全离散有限元方法的性能，并研究几何演化与梯度型噪声的相互作用。