关于以空旷界面极限下由空间-时间白噪声驱动的 Allen-Cahn 方程的显式格式

本文研究了在空既界面极限 $\epsilon\to 0$ 下由空间-时间白噪声驱动的 Allen-Cahn 类型 SPDE 的时间离散近似，其中小参数 $\epsilon$ 表示扩散界面厚度。我们提出了一种显式且易于实现的指数积分器，并对所考虑的问题进行了非线性修改。建立了该格式的时间均一性和 $\epsilon$ 均一矩界的证明，并在 $[0,T]$ 上证明了数值方案法律与 SPDE 法律之间在总变距离中的收敛，收敛阶为 $O(T\cdot\text{Poly}(\epsilon^{-1})\tau^\gamma),\gamma<\tfrac12$。与标准方法导致的指数依赖相比，所得误差界对 $\epsilon^{-1}$ 和 $T$ 的依赖为多项式形式。通过选取适当的参数，可实现对时间步长 $\tau$ 施加温和且与 $\epsilon$ 无关的限制，摆脱了文献中严重的限制 $\tau =O(\epsilon^\sigma),\sigma\geq1$。此外，得到一个关于固定 $\epsilon=1$ 的时间均一误差界，阶数为 $O(\tau^\gamma),\gamma<\tfrac12$，这改进了文献中现有的误差界，并与在全局 Lipschitz 情形下的经典弱收敛阶数相吻合。由于所考察问题的低正则性、漂移的超线性增长、总变距离度量中不可平滑的可观测量以及小界面参数 $\epsilon\to0$ 的存在，误差分析极其非平凡。通过引入一种新的非线性修改策略，并为具有非光滑测试函数的辅助过程建立精细的正则性估计来处理这些困难。数值实验确认了理论收敛性以及该方案捕获界面能力。