带时空白噪声的随机 Cahn-Hilliard 方程尖锐界面极限的改进估计

我们研究具有三次双阱势和加性时空白噪声 $\epsilon^{\sigma}\dot{W}$ 的随机 Cahn-Hilliard 方程的尖锐界面极限，其中 $\epsilon>0$ 为界面宽度参数。我们证明，对于足够大的缩放常数 $\sigma >0$，当 $\epsilon\rightarrow 0$ 时，随机 Cahn-Hilliard 方程收敛到确定性的 Mullins-Sekerka/Hele-Shaw 问题。收敛性在合适的分数阶 Sobolev 范数以及空间维数 $d=2,3$ 下的 $L^p$-范数（$p\in (2, 4]$）中得以展示。这将现有对时空白噪声的结果推广到维数 $d=3$，并改进了现有对光滑噪声的结果，后者此前仅限于空间维数 $d=2,3$ 下的 $p\in \left(2, \frac{2d+8}{d+2}\right]$。作为对带时空白噪声的随机问题分析的副产品，我们确定了噪声的最小正则性要求，使其能在 $\mathbb{H}^1$-范数下收敛到尖锐界面极限，并为确定性问题的尖锐界面极限提供了改进的收敛估计。