随机 Allen–Cahn 方程精细过渡层的生成及其动力学

我们研究 $\mathbb{R}^n$（$n\geq 2$）中有界域上带弱随机噪声的 $\ep$ 相关随机 Allen–Cahn 方程。这里 $\ep$ 是一个小的正参数，形式上表示解界面的厚度，而弱噪声 $\xi^\ep(t)$ 是 $t$ 的光滑随机函数，阶为 $\mathcal O(\ep^{-\gamma})$，其中 $0<\gamma<1/3$，且当 $\ep\rightarrow 0^+$ 时收敛到白噪声。我们考虑与 $\ep$ 无关并满足某些非退化条件的初值，证明陡峭的过渡层——或界面——在 $\ep^2|\ln\ep|$ 量级的极短时间内形成，我们称之为“界面生成”。接下来我们研究这些过渡层的运动，并导出当 $\ep\rightarrow 0^+$ 时锐界面极限的随机运动律。此外，我们证明对于小的 $\ep$，界面的厚度确实为 $\mathcal O(\ep)$ 量级，且界面附近的解剖面保持接近（压缩的）行波的解剖面，这意味着只要噪声在空间上均匀，噪声的存在不会破坏界面附近的解剖面。我们关于界面运动的结果改进了 Funaki (1999) 和 Weber (2010) 的早期结果，显著弱化了初值要求，并建立了此前未知的界面附近解剖面的鲁棒性。