随机 Allen-Cahn 方程的图样形成起始

我们研究随机 Allen-Cahn 方程 $\frac{\partial u_\eps }{\partial t}=\frac 12 \frac{\partial^2 u_\eps }{\partial x^2}+ u_\eps -u_\eps^3+\sqrt\eps\, \dot W$ 的解的行为，该方程在适当大的空间区间 $[-L_\eps , L_\eps]$ 上具有 Dirichlet 边界条件，从恒零函数出发，其中 $\dot W$ 是时空白噪声。我们的主要目标是在小噪声极限下描述相分离的起始，以及 $u_\eps$ 接近 $1$ 或 $-1$ 的空间区域的出现。时间尺度和空间结构由相应的线性化方程的解所呈现的合适高斯过程决定。该问题最初由 De Masi 等人在相关背景下考察 [Ann. Probab. {\bf 22}, (1994), 334-371]，即一类反应扩散模型，该模型作为加速搅拌过程与 $\{-1,1\}^{\mathbb{Z}_\eps}$ 上的自旋翻转动力学的叠加获得，其中 $\mathbb{Z}_\eps=\mathbb{Z}$ 模 $\lfloor\eps^{-1}L_\eps\rfloor$。