随机 Kuramoto-Sivashinsky 方程的全离散有限元方法

我们研究了随机 Kuramoto-Sivashinsky 方程的全离散有限元近似方法，结合空间离散的标准有限元方法与时间离散的隐式 Euler-Maruyama 求解器。我们为两种不同的噪声情形建立了严格的误差估计。在有界乘性噪声的情况下，我们证明了在完全期望中的最优强收敛率。该分析在随机 Gronwall 不等式和 PDE 解的指数稳定性估计的基础上进行，关键控制了非线性漂移与乘性随机 forcing 之间的相互作用。在一般乘性噪声情形下（此时有界性不再成立），我们通过引入基于精心构建的样本空间子集的局部化技术，推导出概率下的亚最优收敛率。这一双框架表明，所提出的全离散方案在有界噪声下实现强收敛，同时在一般乘性噪声下实现概率收敛，从而为随机 Kuramoto-Sivashinsky 方程的数值近似提供了首个全面误差分析。