强阻尼波动方程组完全离散化方法的指数衰减误差分析

本文研究一类强阻尼波动方程的渐近行为及其有限元方法误差分析。该方法在空间方向采用半离散有限元方法，时间维度采用有限差分方案。对于连续问题，在弱阻尼参数 $\alpha$ 与强阻尼参数 $\beta$ 的不同情况下，本文采用通常用于线性抛物线问题的新方法，推导具有显式速率的指数衰减性，其衰减速率取决于模型参数及其关联线性椭圆算子的主特征值，涵盖不同情形：$(i) \;\alpha, \beta >0$，$(ii)\; \alpha>0, \beta \geq 0$ 与$(iii)\;\alpha \geq 0, \beta >0$。随后，对保持时间变量连续的半离散有限元方案推导保持指数衰减行为的最优误差估计。讨论了包括外部 forcing 项以及时空变阻尼参数的推广。此外，还讨论了抽象离散问题，指出有限差分及谱逼近对该阻尼系统而言的均匀衰减估计。在引入时间上的有限差分方案后，构建了完整的离散化方案并进行分析，该方案再次保持指数衰减性。证明过程涉及多个能量，利用能量法 techniques 推导连续离散衰减速率之间的一致性，其中涉及的常数在 $\alpha\to 0$ 与 $\beta\to 0$ 时不会发散。最后进行若干数值实验，其结果支持理论发现，展示均匀衰减速率，并探讨参数对稳定性与精度的影响。