异构 Helmholtz 问题多尺度广义有限元方法的波数显式收敛性

本文系统研究了一种具有最优局部逼近空间、用于求解高频异构 Helmholtz 问题的广义有限元方法（GFEM）。局部空间由定义在广义调和空间上精心设计的局部特征值问题的所选特征向量构建。在连续与离散层面均得到：$(i)$ 无需对子域大小作任何假设，便获得局部与全局逼近误差的波数显式且近指数衰减率；$(ii)$ 在假设子域大小为 $O(1/k)$（$k$ 为波数）下，建立了该方法的拟最优收敛性。分析还暗示了波数与局部空间维数之间关于误差随过采样大小衰减的新型共振效应。此外，对固定的局部空间维数，证明了离散局部误差在 $h\rightarrow 0$（$h$ 表示网格尺寸）时收敛于连续局部误差。连续层面的方法将平面波单位分解法 [I. Babuska and J. M. Melenk, Int.\;J.\;Numer.\;Methods Eng., 40 (1997), pp.~727--758] 推广至异构系数情形，而在离散层面，它给出了一种高效的非迭代区域分解方法，用于求解标准有限元离散化产生的离散 Helmholtz 问题。数值结果证实了理论分析并验证了所提方法。