求解异质反应扩散方程的广义有限元方法的指数收敛性

针对带有奇异扰动参数 $\varepsilon$ 的异质反应扩散方程，提出了一种广义有限元方法，其基于在每个子域上用局部反应扩散方程的解和局部特征问题特征函数对解进行局部逼近。这些局部问题被设定在比子域稍大、过采样尺寸为 $\delta^{\ast}$ 的某些区域上。该方法在连续层面被表述为对连续问题的直接离散，在离散层面被表述为其标准 FE 离散的粗空间逼近。建立了局部逼近误差关于 $\delta^{\ast}/\varepsilon$ 和 $\delta^{\ast}/h$（离散层面 $h$ 表示精细 FE 网格尺寸）以及局部自由度的指数衰减率。特别地，证明了连续层面的方法在标准 $H^{1}$ 范数下关于 $\varepsilon$ 一致收敛，并且若过采样尺寸相对于 $\varepsilon$ 和 $h$（离散层面）较大，局部反应扩散方程的解可提供对解的良好局部逼近，从而不需要局部特征函数。给出了数值结果以验证理论结果。