非局部扩散模型的有限元方法渐近相容误差界及其高效实现

本文提出了应用于非局部扩散模型的有限元方法（FEM）的渐近相容误差界。分析涵盖两种情形：具有和不具有形正则性的网格。对于形正则网格，误差界为 $O(h^k + \delta)$，其中 $h$ 为网格尺度，$\delta$ 为非局部分辨率，$k$ 为 FEM 基函数的阶数。若不具有形正则性，误差界为 $O(h^{k+1}/\delta + \delta)$。此外，我们提出了非局部模型的有限元方法的高效实现。直接实现非局部模型的有限元方法需要计算 $2n$ 维积分，计算开销巨大。对于具有高斯核函数的非局部模型，我们可将 $2n$ 维积分解耦为二维积分，从而大幅降低计算成本。数值实验验证了理论结果并展示了所提出数值方法的卓越性能。