多尺度谱广义有限元方法与多尺度偏微分方程低秩逼近的统一框架

本文提出了多尺度谱广义有限元方法（MS-GFEM）的设计、实现与分析的抽象框架，该数值多尺度方法最初由[I. Babuska and R. Lipton, Multiscale Model. Simul., 9 (2011), pp. 373--406]提出。MS-GFEM是一种单位分解方法，采用由局部谱问题构造的最优局部逼近空间。我们在一定假设下建立了一般的局部逼近理论，证明了关于局部自由度的指数收敛性，并显式依赖于关键问题参数。我们的框架适用于连续与离散有限元设置下具有$L^{\infty}$系数的一大类多尺度偏微分方程，包括高度不定问题（对流占优扩散，以及具有阻抗边界条件的高频Helmholtz、Maxwell和弹性波方程）和高阶问题。值得注意的是，我们证明了MS-GFEM对所有这些问题具有$O(e^{-cn^{1/d}})$的局部收敛速率，改进了Babuska和Lipton所证明的$O(e^{-cn^{1/(d+1)}})$速率。此外，基于MS-GFEM的抽象局部逼近理论，我们建立了一个用于证明多尺度偏微分方程低秩逼近的统一框架。该框架适用于前述问题，证明了相关格林函数在分离良好的区域上容许误差$\epsilon>0$的$O(|\log\epsilon|^{d})$项可分离逼近。我们的分析改进并推广了[M. Bebendorf and W. Hackbusch, Numerische Mathematik, 95 (2003), pp. 1-28]中针对Poisson型问题证明的$O(|\log\epsilon|^{d+1})$项可分离逼近的结果。