广义多尺度有限元方法：过采样策略

本文在广义多尺度有限元方法（GMsFEM）框架下提出了过采样策略。GMsFEM 是近期引入的一种方法，通过在粗网格上构建解的降阶表示，以降低计算成本求解多尺度参数依赖问题。该方法的主要思想包括：(1) 构建快照空间，(2) 构建离线空间，以及 (3) 构建在线空间（后者针对参数依赖问题）。文献 [12] 表明，GMsFEM 通过生成适当的快照、离线和在线空间，为求解具有复杂输入空间的多尺度问题提供了灵活工具。本文开发了适用于此背景的过采样技术（参见文献 [19]，其中为多尺度有限元方法引入了过采样）。已知（见文献 [19]）过采样可以提高多尺度方法的精度。特别是，过采样技术在构建局部基函数时使用比目标粗块更大的区域。我们的动机源于本文提出的分析，该分析表明在某些假设下，当在构建快照空间和离线空间时使用过采样技术，GMsFEM 将收敛且独立于小尺度和高对比度。我们考虑使用多重特征值问题来改善收敛性，并讨论其与使用过采样区域的单一谱问题的关系。本文提出的过采样过程不同于文献 [19] 中的方法。特别是，过采样域仅部分用于构建局部谱问题。我们展示了数值结果并比较了各种过采样技术，以补充所提出的技术和分析。