针对高对比度流动问题的自适应 GMsFEM

本文推导了广义多尺度有限元方法 (GMsFEM) 框架的后验误差指示子。该误差指示子进一步用于开发具有多尺度高对比度系数的线性椭圆方程的自适应富集算法。最近引入的 GMsFEM [12] 通过在粗网格上构建解的降阶表示，能够以降低的计算成本求解多尺度参数依赖问题。该方法的主要思想包括：(1) 构建快照空间，(2) 构建离线空间，以及 (3) 构建在线空间（后者针对参数依赖问题）。文献 [12] 表明，GMsFEM 通过生成适当的快照、离线和在线空间，提供了解决具有复杂输入空间的多尺度问题的灵活工具。在本文中，我们研究了一种自适应富集过程，并推导了一个后验误差指示子，该指示子给出了粗网格区域上的局部误差估计。我们考虑了两种误差指示子，一种基于局部残差的 $L^2$-范数，另一种基于局部残差的加权 $H^{-1}$-范数，其中权重与椭圆方程的系数相关。我们表明，使用加权 $H^{-1}$-范数残差能提供更鲁棒的误差指示子，适用于高对比度介质情况。给出了该方法的收敛性分析。在我们的分析中，未考虑局部问题细网格离散化带来的误差，仅研究了由富集引起的误差。展示了数值结果以证明所提误差指示子的鲁棒性。