带 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 权的最快扩散方程的定量先验估计：Harnack 不等式与 Hölder 连续性

我们研究定义在 $(0,T)\times{\mathbb R}^N$ 柱体上的加权最快扩散方程 $u_t = |x|^{\gamma} \nabla\cdot (|x|^{-\beta} \nabla u^m)$（$0 < m <1$）的一类非负局部弱解的先验估计。权 $|x|^{\gamma}$ 与 $|x|^{-\beta}$（其中 $\gamma < N$ 且 $\gamma -2 < \beta \leq \gamma(N-2)/N$）可同时退化与奇异，且不必属于 $\mathcal{A}_2$ 类——而这是此类问题的典型假设。该参数范围对于一类 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式的成立是最优的，这些不等式在此更复杂的加权设定中扮演了标准 Sobolev 不等式的角色。我们所考虑的权不具有平移不变性，这导致了诸多额外困难与多种情形：例如，当考察原点附近或远离原点的问题时，方程的标度性质会改变。因此我们证明局部弱解的定量（含可计算常数）上下估计，将注意力集中于几何发生改变之处。此类估计很好地组合为前向、后向与椭圆型 Harnack 不等式的形式。作为推论，我们得到解的 Hölder 连续性，其指数为定量（虽非最优）。我们的结果适用于相当广泛的解与问题。正性估计的证明需要一种新方法，并构成本文主要的技术新颖之处。我们的技巧具有灵活性，可适配更一般的设定，例如更广的权类或置于黎曼流形上的类似问题（曲率可能无界）。在线性情形 $m=1$ 下，我们也证明了定量估计，在某些情形恢复了已知结果，并将此类结果推广至更广的权类。