带 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 权的最快扩散方程柯西问题解的精细性质

我们研究带权最快扩散方程（WFDE）$u_t=|x|^\gamma\mathrm{div}\left(|x|^{-\beta}\nabla u^m\right)$ 在 $(0,+\infty)\times\mathbb{R}^d$（$d\ge 3$）上非负可积解的全局精细性质，处于所谓良好最快扩散范围 $m_c<m<1$ 内，且参数 $\gamma, \beta$ 取使所谓 Caffarelli-Kohn-Nirenberg 不等式成立的最优范围。一个自然的问题是：此类解在何种意义下表现得像 Barenblatt $\mathfrak{B}$（基本解）：例如，渐近收敛，即 $\|u(t)-\mathfrak{B}(t)\|_{{\rm L}^p(\mathbb{R}^d)}\xrightarrow[]{t\to\infty}0$，对所有 $1\le p\le \infty$ 均已熟知，而仅有少数部分结果触及尾部行为的更精细分析。我们刻画了产生被两个 Barenblatt 解逐点夹逼（全局 Harnack 原理）且在相对误差上一致收敛（UREC），即 ${\rm d}_\infty(u(t))=\|u(t)/\mathcal{B}(t)-1\|_{{\rm L}^\infty(\mathbb{R}^d)}\xrightarrow[]{t\to\infty}0$ 的解的最大数据集合 $\mathcal{X}\subset{\rm L}^1_+(\mathbb{R}^d)$。该刻画通过关于 $u(t=0)$ 的一个积分条件给出。据我们所知，对于线性热方程 $m=1$ 的类似问题并无如此清晰的答案。我们的刻画对于经典的、无权 FDE 也是新的。我们能够给出到 $\mathcal{B}$ 在不同范数下的最小收敛速率。这些速率在无权情形下几乎最优，而对径向解则达到最优。为完整起见，我们证明具有 ${\rm L}^1_+(\mathbb{R}^d)\setminus\mathcal{X}$ 中数据的解在所有时刻保持同样的“胖”空间尾部，从而 UREC 失效。