非紧流形上的快扩散:适定性理论及与半线性椭圆方程的联系
偏微分方程分析
2020-03-30 v1 微分几何
摘要
我们研究快扩散方程(FDE)在一类广泛的非紧黎曼流形中的适定性。对于全局可积初值,解的存在唯一性已在[5]中建立。然而,在欧氏空间中,由 Herrero 和 Pierre [20] 可知,与 FDE 相关的柯西问题对仅属于 的初值是适定的。我们在此确立,此类数据在非紧黎曼流形上仍产生全局解。此外,若径向 Ricci 曲率满足适当的从下方逐点有界(可能在空间无穷远处发散至 ),我们证明对于同类数据,在强解类中唯一性也成立。再者,在初值属于 且非负的进一步假设下,证明了极小解的存在,并且我们能够确立纯(非负)分布解的唯一性,据我们所知这在此前即便在欧氏空间中亦未知。所需的曲率界实际上是尖锐的,因为在模型流形上它等价于随机完备性,且[13]中已证明在不随机完备的流形上 FDE 的唯一性甚至在有限解类中也不成立。定性地说,这相当于要求曲率在无穷远处至多二次发散。唯一性结果的一个关键要素是证明某些具有幂非线性项的半线性椭圆方程的分布下解的不存在性,这具有独立意义。
引用
@article{arxiv.2003.12446,
title = {Fast diffusion on noncompact manifolds: well-posedness theory and connections with semilinear elliptic equations},
author = {Gabriele Grillo and Matteo Muratori and Fabio Punzo},
journal= {arXiv preprint arXiv:2003.12446},
year = {2020}
}